Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 3$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.3.3.3

Reescreva $- 1 (x^{2} - 3)$ como $- (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Etapa 1.1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 1.1.3.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.3.7

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (- x^{2} + 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Etapa 1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Etapa 1.1.4.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Etapa 1.1.4.5

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + 3 e^{- x} = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $e^{- x}$ de $3 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x)$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 (x) + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$e^{- x} (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$e^{- x} ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$e^{- x} (x (- x - 1) - 3 (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$e^{- x} ((- x - 1) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $- x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $- x - 1$ como igual a $0$ .

$- x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $- x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- x = 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Etapa 2.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 3$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (4 e^{- (- 2)}) + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{2} + 3 e^{- (- 2)}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 e^{2} + 3 e^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $4 e^{2}$ de $- 4 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{2} + 3 e^{2}$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 8 e^{2}$ e $3 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 5 e^{2}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 5 e^{2}$ .

$- 5 e^{2}$

Etapa 5.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- 5 e^{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.9

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- 1}$

Etapa 6.2.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 (\frac{1}{e})$

Etapa 6.2.1.12

Combine $3$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{3}{e}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2 + 3}{e}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (1) = \frac{1 + 3}{e}$

Etapa 6.2.2.2.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (1) = \frac{4}{e}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{4}{e}$ .

$\frac{4}{e}$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{4}{e}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, 3)$ .

Acréscimo em $(- 1, 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - {(4)}^{2} e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- (4)}) + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f' (4) = - 16 e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = - 16 e^{- 4} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - 16 \frac{1}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.5

Combine $- 16$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{- 16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- 4} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.10

Combine $8$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Etapa 7.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- 4}$

Etapa 7.2.1.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 (\frac{1}{e^{4}})$

Etapa 7.2.1.13

Combine $3$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + \frac{3}{e^{4}}$

Etapa 7.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (4) = \frac{- 16 + 8 + 3}{e^{4}}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Some $- 16$ e $8$ .

$f' (4) = \frac{- 8 + 3}{e^{4}}$

Etapa 7.2.2.2.2

Some $- 8$ e $3$ .

$f' (4) = \frac{- 5}{e^{4}}$

Etapa 7.2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (4) = - \frac{5}{e^{4}}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- \frac{5}{e^{4}}$ .

$- \frac{5}{e^{4}}$

Etapa 7.3

Em $x = 4$ , a derivada é $- \frac{5}{e^{4}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(3, \infty)$ .

Decréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, 3)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Etapa 9