Cálculo Exemplos

$f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 4 y + 5$

Etapa 1

Escreva $f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 4 y - 5 = 0$ como uma função.

$f (x) = f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 4 y - 5$

Etapa 2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x^{2} = x y + y^{2} - 4 y + 5$

Etapa 2.2

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x^{2} - x y = y^{2} - 4 y + 5$

Etapa 2.3

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} = - 4 y + 5$

Etapa 2.4

Some $4 y$ aos dois lados da equação.

$f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 4 y = 5$

Etapa 2.5

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 4 y - 5 = 0$

Etapa 3

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 4 y - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.5.2

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.5.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + 0$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Combine os termos.

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Etapa 3.6.1.1

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0$

Etapa 3.6.1.2

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0$

Etapa 3.6.1.3

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Etapa 4

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Etapa 4.3

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 4.4.1.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y))$

Etapa 4.4.1.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y))$

Etapa 4.4.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por cada elemento da matriz.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Etapa 4.4.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.4.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.4.3.1.1

Fatore $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Etapa 4.4.3.1.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Etapa 4.4.3.1.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Etapa 4.4.3.2

Multiplique $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Etapa 4.4.3.2.1

Combine $f$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y))$

Etapa 4.4.3.2.2

Combine $\frac{f}{x}$ e $y$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Etapa 4.5

Some $- 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Etapa 5

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Etapa 6

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 6.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 6.1.4.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.5.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.5.2

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 6.1.5.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + 0$

Etapa 6.1.6

Simplifique.

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Etapa 6.1.6.1

Combine os termos.

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Etapa 6.1.6.1.1

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0$

Etapa 6.1.6.1.2

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0$

Etapa 6.1.6.1.3

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$

Etapa 6.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 x - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Etapa 6.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ .

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$

Etapa 7

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Etapa 8

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{d}{d x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$d x = 0$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $d x = 0$ por $d$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $d x = 0$ por $d$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Divida $0$ por $d$ .

$x = 0$

Etapa 9

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Multiplique $d$ por $0$ .

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Etapa 11.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 12

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 13