Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{8}{7}}$ , $y = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{\frac{8}{7}} = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 0, 6$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 6 \cdot 0^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique $6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1.1

Reescreva $0$ como $0^{7}$ .

$y = 6 {(0^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.3.2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 1.3.2.3.2

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 1.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 1.3.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 6 \cdot 0^{1}$

Etapa 1.3.2.3.3

Avalie o expoente.

$y = 6 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.3.4

Multiplique $6$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 6$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $6$ por $x$ .

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.4.2

Substitua $6$ por $x$ em $y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 6 \cdot 6^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $6$ por ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique $6$ por ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Etapa 1.4.2.3.1.1

Eleve $6$ à potência de $1$ .

$y = 6^{1} {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 1.4.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 6^{1 + \frac{1}{7}}$

Etapa 1.4.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 6^{\frac{7}{7} + \frac{1}{7}}$

Etapa 1.4.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 6^{\frac{7 + 1}{7}}$

Etapa 1.4.2.3.4

Some $7$ e $1$ .

$y = 6^{\frac{8}{7}}$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $6$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - (x^{\frac{8}{7}}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Etapa 3.4

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{0}^{6} x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{7}}$ com relação a $x$ é $\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{7}{8}$ e $x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{8}{7}}$ com relação a $x$ é $\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}]_{0}^{6})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.9.1

Combine $\frac{7}{15}$ e $x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Etapa 3.9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.2.1

Avalie $\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}$ em $6$ e em $0$ .

$6 ((\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}) - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Etapa 3.9.2.2

Avalie $\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}$ em $6$ e em $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{7}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.3

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.9.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{8}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.5

Multiplique $7$ por $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.6

Cancele o fator comum de $0$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.6.1

Fatore $8$ de $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 (0)}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.6.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.6.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} + 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.8

Some $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ e $0$ .

$6 \frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.9

Combine $6$ e $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ .

$\frac{6 (7 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.10

Multiplique $7$ por $6$ .

$\frac{42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.11

Fatore $2$ de $42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.9.2.3.12.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 (4)} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 \cdot 4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.13

Reescreva $0$ como $0^{7}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{15}{7}}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.14

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.15

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{15}}{15})$

Etapa 3.9.2.3.16

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0}{15})$

Etapa 3.9.2.3.17

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{15})$

Etapa 3.9.2.3.18

Cancele o fator comum de $0$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.18.1

Fatore $15$ de $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 (0)}{15})$

Etapa 3.9.2.3.18.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.18.2.1

Fatore $15$ de $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.18.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.18.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.9.2.3.18.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - 0)$

Etapa 3.9.2.3.19

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} + 0)$

Etapa 3.9.2.3.20

Some $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ e $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Etapa 3.9.2.3.21

Para escrever $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Etapa 3.9.2.3.22

Para escrever $- \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.9.2.3.23

Escreva cada expressão com um denominador comum de $60$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.9.2.3.23.1

Multiplique $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.9.2.3.23.2

Multiplique $4$ por $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.9.2.3.23.3

Multiplique $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{15 \cdot 4}$

Etapa 3.9.2.3.23.4

Multiplique $15$ por $4$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Etapa 3.9.2.3.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15 - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Etapa 3.9.2.3.25

Multiplique $15$ por $21$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Etapa 3.9.2.3.26

Multiplique $4$ por $- 7$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 28 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{60}$

Etapa 4