Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 2.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.3.2.2

Some $- 32 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.6.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 2.1.6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 4)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie.

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Etapa 2.2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Etapa 2.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Diferencie.

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Etapa 2.2.8.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5.3

Combine $- 32$ e $\frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(32) ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1

Aplique a regra do produto a ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) - x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.1

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.1.1

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.2

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.3

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.4

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.5

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4)) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.1

Expanda $(x + 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x (x - 4) + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 4$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.2.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.3.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.6

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.9

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.4

Combine os termos opostos em $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.4.1

Some $- 8 x$ e $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.4.2

Some $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.5

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- x^{2} - 16 - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.6

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.9.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.3

Cancele o fator comum de $x + 4$ e ${(x + 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.3.1

Fatore $x + 4$ de $32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.3.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.2.9.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.2.9.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.4

Cancele o fator comum de $x - 4$ e ${(x - 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.4.1

Fatore $x - 4$ de $32 (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.4.2.1

Fatore $x - 4$ de ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 2.2.9.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 2.2.9.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.7

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.9

Reescreva $- (3 x^{2} + 16)$ como $- 1 (3 x^{2} + 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 1 (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}})$

Etapa 2.2.9.12

Multiplique $\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$32 (3 x^{2} + 16) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $32 (3 x^{2} + 16) = 0$ por $32$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $32 (3 x^{2} + 16) = 0$ por $32$ .

$\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{32} = \frac{0}{32}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{32} = \frac{0}{32}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{2} + 16$ por $1$ .

$3 x^{2} + 16 = \frac{0}{32}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Divida $0$ por $32$ .

$3 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 3.3.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 16$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 16$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 16$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 16}{3}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 16}{3}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{3}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{16}{3}$

Etapa 3.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{16}{3}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{16}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Reescreva $- \frac{16}{3}$ como $i^{2} \frac{4^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{16}{3}}$

Etapa 3.3.5.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4^{2}}{3}}$

Etapa 3.3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{4^{2}}{3}}$

Etapa 3.3.5.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{16}{3}}$

Etapa 3.3.5.4

Reescreva $\sqrt{\frac{16}{3}}$ como $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.3.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.3.5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \frac{4}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.3.5.6

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 3.3.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.3.5.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.3.5.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.3.5.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.5.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.5.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.5.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.5.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.3.5.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.5.8

Combine $i$ e $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (4 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 3.3.5.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm \frac{4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{4 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão