Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{5}}$

Etapa 1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{5}}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{5}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{5}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{5}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x^{4}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x^{4}}$

Etapa 4.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x^{4}}$

Etapa 4.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{4}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{4}]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x^{4}]}$

Etapa 4.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 (4 x^{3})}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $4$ por $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{20 x^{3}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 20 x^{3}}$

Etapa 5.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 20 x^{3}}$

Etapa 5.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{20 x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [20 x^{3}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [20 x^{3}]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [20 x^{3}]}$

Etapa 5.3.3

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{20 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{20 (3 x^{2})}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $3$ por $20$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{60 x^{2}}$

Etapa 6

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 60 x^{2}}$

Etapa 6.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 60 x^{2}}$

Etapa 6.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{60 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [60 x^{2}]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [60 x^{2}]}$

Etapa 6.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [60 x^{2}]}$

Etapa 6.3.3

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{2}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{60 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 6.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{60 (2 x)}$

Etapa 6.3.5

Multiplique $2$ por $60$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{120 x}$

Etapa 7

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 7.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 120 x}$

Etapa 7.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 120 x}$

Etapa 7.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 7.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{120 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [120 x]}$

Etapa 7.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [120 x]}$

Etapa 7.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [120 x]}$

Etapa 7.3.3

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120 x$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{120 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{120 \cdot 1}$

Etapa 7.3.5

Multiplique $120$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{120}$

Etapa 8

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $\frac{1}{120}$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 8.1

Considere o limite com o múltiplo constante $\frac{1}{120}$ removido.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Etapa 8.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty$