Cálculo Exemplos

$y = x \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $y = x \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Etapa 2.3.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Etapa 3.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 + \ln (x) = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + \ln (x) = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\ln (x) = - 1$

Etapa 6.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Etapa 6.4

Reescreva $\ln (x) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

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Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Etapa 6.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 7.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{e}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 e$

Etapa 10.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$e$

Etapa 11

$x = \frac{1}{e}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{e}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{e}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Reescreva $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Etapa 12.2.2

Reescreva $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Etapa 12.2.3

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Etapa 12.2.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Etapa 12.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Etapa 12.2.6

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Etapa 12.2.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Etapa 12.2.8

Combine $\frac{1}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Etapa 12.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Etapa 12.2.10

A resposta final é $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ é um mínimo local

Etapa 14