Cálculo Exemplos

$\frac{(- e^{- t} t + e^{- t})}{e^{t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = - e^{- t} t + e^{- t}$ e $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{t})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- e^{- t} t + e^{- t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- e^{- t} t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [e^{- t} t]$ .

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = e^{- t}$ e $g (t) = t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \frac{d}{d t} [t] + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \cdot 1 + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 4.2

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \cdot - 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 6.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- 1 \cdot e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 6.3.3

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \cdot - 1) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 8.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - 1 \cdot e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 8.3.3

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 9

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{t} (- e^{- t} - (t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- e^{- t} t) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- e^{t} e^{- t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.2

Multiplique $e^{t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.2.1

Mova $e^{- t}$ .

$\frac{- (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- e^{- t + t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.2.3

Some $- t$ e $t$ .

$\frac{- e^{0} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.3

Simplifique $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.5

Multiplique $e^{t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.5.1

Mova $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.5.3

Some $- t$ e $t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.6

Simplifique $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 + 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.8

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{- 1 + t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 1 + t - e^{t} e^{- t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.10

Multiplique $e^{t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.10.1

Mova $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 + t - (e^{- t} e^{t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.10.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 + t - e^{- t + t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.10.3

Some $- t$ e $t$ .

$\frac{- 1 + t - e^{0} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.11

Simplifique $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.12

Multiplique $e^{- t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.12.1

Mova $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- (e^{t} e^{- t}) t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{t - t} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.12.3

Subtraia $t$ de $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{0} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.13

Simplifique $- (- e^{0} t)$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- 1 t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.14

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.15

Multiplique $- - t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.15.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.15.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.16

Multiplique $e^{- t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.16.1

Mova $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.16.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.16.3

Subtraia $t$ de $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.1.17

Simplifique $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{t - 2 + t - 1}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.3

Some $t$ e $t$ .

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

Etapa 10.5.4

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$