Cálculo Exemplos

$lim_{x \to π} \frac{8 \cos (x) + 8}{{(x - π)}^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to π} 8 \cos (x) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 8 \cos (x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{8 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{8 \cos (lim_{x \to π} x) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{8 \cos (π) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{8 (- \cos (0)) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{8 (- 1 \cdot 1) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $8 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.2.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{8 \cdot - 1 + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.1.3.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Some $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o expoente $2$ de ${(x - π)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}^{2}}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{0}{{(π - π)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to π} \frac{8 \cos (x) + 8}{{(x - π)}^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x) + 8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x) + 8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 \cos (x) + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \cos (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{8 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{8 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x) + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3.5

Some $- 8 \sin (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Etapa 3.6

Reescreva ${(x - π)}^{2}$ como $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}$

Etapa 3.7

Expanda $(x - π) (x - π)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}$

Etapa 3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Etapa 3.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- π (- π)$ .

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Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}$

Etapa 3.8.1.2.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}$

Etapa 3.8.1.2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}$

Etapa 3.8.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}$

Etapa 3.8.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $π x$ de $x (- π)$ .

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Etapa 3.8.2.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}$

Etapa 3.8.2.2

Subtraia $π x$ de $- π x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Etapa 3.11

Como $- 2 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 π x$ em relação a $x$ é $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Etapa 3.13

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Etapa 3.14

Como $π^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π + 0}$

Etapa 3.15

Some $2 x - 2 π$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2 x - 2 π$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $- 8 \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 x - 2 π}$

Etapa 4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x) - 2 π}$

Etapa 4.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x) + 2 (- π)}$

Etapa 4.1.2.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x - π)}$

Etapa 4.1.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x - π)}$

Etapa 4.1.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to π} \frac{- 4 \sin (x)}{x - π}$

Etapa 4.2

Mova o termo $- 4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- 4 \frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$- 4 \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} x - π}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} x - π}$

Etapa 5.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π}$

Etapa 5.1.3.1.2

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $π$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$- 4 \frac{0}{π - π}$

Etapa 5.1.3.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$- 4 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- 4 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- 4 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Etapa 5.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Etapa 5.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 5.3.5

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + 0}$

Etapa 5.3.6

Some $1$ e $0$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1}$

Etapa 5.4

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$- 4 lim_{x \to π} \cos (x)$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- 4 \cos (lim_{x \to π} x)$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$- 4 \cos (π)$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 4 (- \cos (0))$

Etapa 8.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 8.3

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 8.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Etapa 8.3.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4$