Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{5} - x^{3} + 6 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 6 x}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $6 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x^{4}} d x$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 6}{x^{3}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3} d x$

Etapa 5

Expanda $(x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 5.4

Subtraia $3$ de $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 5.5

Simplifique.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 5.6

Fatore o negativo.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x - x^{2 - 3} + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 5.8

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 6 x^{- 3} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Etapa 9

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 3} d x$

Etapa 10

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 3} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 12.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Etapa 12.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Etapa 12.3

Simplifique.

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Etapa 12.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 6 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 12.3.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 6}{2 x^{2}} + C$

Etapa 12.3.3

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 12.3.3.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Etapa 12.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{2})} + C$

Etapa 12.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Etapa 12.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 3}{x^{2}} + C$

Etapa 12.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$