Cálculo Exemplos

$x e^{\frac{y}{z}}$

Etapa 1

Como $x$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $x e^{\frac{y}{z}}$ em relação a $z$ é $x \frac{d}{d z} [e^{\frac{y}{z}}]$ .

$x \frac{d}{d z} [e^{\frac{y}{z}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = \frac{y}{z}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{y}{z}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y}{z}$ .

$x (e^{\frac{y}{z}} \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $y$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $\frac{y}{z}$ em relação a $z$ é $y \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}]$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}])$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{z}$ como $z^{- 1}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y \frac{d}{d z} [z^{- 1}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y (- z^{- 2}))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y (- \frac{1}{z^{2}}))$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $y$ e $\frac{1}{z^{2}}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (- \frac{y}{z^{2}})$

Etapa 4.2.2

Combine $x$ e $\frac{y}{z^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{z}} (- \frac{x y}{z^{2}})$

Etapa 4.2.3

Combine $e^{\frac{y}{z}}$ e $\frac{x y}{z^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{y}{z}} (x y)}{z^{2}}$

Etapa 4.3

Remova os parênteses desnecessários.

$- \frac{e^{\frac{y}{z}} x y}{z^{2}}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores em $- \frac{e^{\frac{y}{z}} x y}{z^{2}}$ .

$- \frac{x y e^{\frac{y}{z}}}{z^{2}}$