Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 8$ , $y = 8$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 8 = 8$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 8 = 8$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 8 + 8$

Etapa 1.2.1.2

Some $8$ e $8$ .

$x^{2} = 16$

Etapa 1.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 1.3

Substitua $4$ por $x$ .

$y = 8$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 8)$

$(- 4, 8)$

$(4, 8)$

$(- 4, 8)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} 8 d x - \int_{- 4}^{4} x^{2} - 8 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{4} 8 - (x^{2} - 8) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - x^{2} - - 8$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 - x^{2} + 8$

$\int_{- 4}^{4} 8 - x^{2} + 8 d x$

Etapa 3.3

Some $8$ e $8$ .

$\int_{- 4}^{4} - x^{2} + 16 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{4} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{4} 16 d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 4}^{4} x^{2} d x + \int_{- 4}^{4} 16 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}) + \int_{- 4}^{4} 16 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}) + \int_{- 4}^{4} 16 d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}) + 16 x]_{- 4}^{4}$

Etapa 3.9

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $- 4$ .

$- ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 x]_{- 4}^{4}$

Etapa 3.9.2

Avalie $16 x$ em $4$ e em $- 4$ .

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{64}{3} - - \frac{64}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.5

Multiplique $\frac{64}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{64 + 64}{3} + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.7

Some $64$ e $64$ .

$- \frac{128}{3} + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.8

Multiplique $16$ por $4$ .

$- \frac{128}{3} + 64 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.9

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$- \frac{128}{3} + 64 + 64$

Etapa 3.9.3.10

Some $64$ e $64$ .

$- \frac{128}{3} + 128$

Etapa 3.9.3.11

Para escrever $128$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 128 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.9.3.12

Combine $128$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{128 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 128 + 128 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.3.14.1

Multiplique $128$ por $3$ .

$\frac{- 128 + 384}{3}$

Etapa 3.9.3.14.2

Some $- 128$ e $384$ .

$\frac{256}{3}$

Etapa 4