Cálculo Exemplos

$\frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\ln (x)}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 - \ln (x) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \ln (x) = - 1$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Etapa 3.3.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\ln (x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Etapa 3.3.5

Reescreva a equação como $x = e^{1}$ .

$x = e$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $e$ .

$e$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 5.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Etapa 7

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, e)$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, e)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.35914085$ na expressão.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Eleve $1.35914085$ à potência de $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Etapa 8.2.2

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Etapa 8.2.3

A base do logaritmo $2.71828182$ de $1.35914085$ é de aproximadamente $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Etapa 8.2.4

Multiplique $- 1$ por $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Etapa 8.2.5

Subtraia $0.30685277$ de $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Etapa 8.2.6

Divida $0.69314722$ por $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Etapa 8.2.7

A resposta final é $0.37522914$ .

$0.37522914$

Etapa 8.3

Em $x = 1.35914085$ , a derivada é $0.37522914$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, e)$ .

Acréscimo em $(0, e)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, e), (e, \infty)$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(e, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $3.7182817$ na expressão.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Eleve $3.7182817$ à potência de $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Etapa 10.2.2

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Etapa 10.2.3

A base do logaritmo $2.71828182$ de $3.7182817$ é de aproximadamente $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Etapa 10.2.4

Multiplique $- 1$ por $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Etapa 10.2.5

Subtraia $1.31326165$ de $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Etapa 10.2.6

Divida $- 0.31326165$ por $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Etapa 10.2.7

A resposta final é $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Etapa 10.3

Em $x = 3.7182817$ , a derivada é $- 0.02265805$ . Por ser negativa, a função diminui em $(e, \infty)$ .

Decréscimo em $(e, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, e)$

Decréscimo em: $(e, \infty)$

Etapa 12