Cálculo Exemplos

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 5]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$e^{2 x} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $e^{2 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.3

Não há uma solução para $e^{2 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{5} e^{2 x} d x - \int_{0}^{5} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $5$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{5} e^{2 x} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{5} e^{2 x} d x$

Etapa 3.3

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.3.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$u_{upper} = 10$

Etapa 3.3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Etapa 3.3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{10} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3.4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{10} e^{u} d u$

Etapa 3.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{10}$

Etapa 3.7

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.7.1

Avalie $e^{u}$ em $10$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{10}) - e^{0})$

Etapa 3.7.2

Simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{10} - 1 \cdot 1)$

Etapa 3.7.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{10} - 1)$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} e^{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{10}$ .

$\frac{e^{10}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{10}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{e^{10}}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 4