Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{4} {(i^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(i^{2} + 1)}^{2}$ como $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ .

$(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$

Etapa 1.2

Expanda $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$i^{2} (i^{2} + 1) + 1 (i^{2} + 1)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 (i^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $i^{2}$ por $i^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$i^{4} + i^{2} + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1$

Etapa 1.3.2

Some $i^{2}$ e $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{4} i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Etapa 2

Expanda a série para cada valor de $i$ .

$1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Eleve $1$ à potência de $4$ .

$1 + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.2

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.4

Some $1$ e $2$ .

$3 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.5

Some $3$ e $1$ .

$4 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.6

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 4 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 + 16 + 8 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.9

Some $16$ e $8$ .

$4 + 24 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.10

Some $24$ e $1$ .

$4 + 25 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.11

Some $4$ e $25$ .

$29 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.12

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.13

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 9 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.14

Multiplique $2$ por $9$ .

$29 + 81 + 18 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.15

Some $81$ e $18$ .

$29 + 99 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.16

Some $99$ e $1$ .

$29 + 100 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.17

Some $29$ e $100$ .

$129 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.18

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Etapa 3.19

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 16 + 1$

Etapa 3.20

Multiplique $2$ por $16$ .

$129 + 256 + 32 + 1$

Etapa 3.21

Some $256$ e $32$ .

$129 + 288 + 1$

Etapa 3.22

Some $288$ e $1$ .

$129 + 289$

Etapa 3.23

Some $129$ e $289$ .

$418$