Cálculo Exemplos

$5 e^{3 t} = 8 e^{2 t}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5 e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (5 e^{3 t})$ como $\ln (5) + \ln (e^{3 t})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (e^{3 t})$ movendo $3 t$ para fora do logaritmo.

$\ln (5) + 3 t \ln (e) = \ln (8 e^{2 t})$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (5) + 3 t \cdot 1 = \ln (8 e^{2 t})$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8 e^{2 t})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (8 e^{2 t})$ como $\ln (8) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + \ln (e^{2 t})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln (e^{2 t})$ movendo $2 t$ para fora do logaritmo.

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \ln (e)$

Etapa 3.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (5) - \ln (8) = - 3 t + 2 t$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - 3 t + 2 t$

Etapa 6

Some $- 3 t$ e $2 t$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - t$

Etapa 7

Como $t$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- t = \ln (\frac{5}{8})$

Etapa 8

Divida cada termo em $- t = \ln (\frac{5}{8})$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $- t = \ln (\frac{5}{8})$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Etapa 8.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$

Etapa 8.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$ como $- \ln (\frac{5}{8})$ .

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Forma decimal:

$t = 0.47000362 \dots$