Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Etapa 1.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Etapa 1.1.3

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 1.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{3 x} (3 \cdot 1)}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{3 x} \cdot 3}$

Etapa 1.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{3 e^{3 x}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{3 e^{3 x}}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Etapa 2.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Etapa 2.1.3

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{3 x} (3 \cdot 1)}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{3 x} \cdot 3}$

Etapa 2.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{3 e^{3 x}}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{3 x}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Etapa 4.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Etapa 4.1.3

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 4.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \cdot 3}$

Etapa 4.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 x}}$

Etapa 5

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{3 x}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot 0$

Etapa 7.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} \cdot 0$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{2}{9}$ por $0$ .

$0$