Cálculo Exemplos

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

Etapa 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} - 27 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 27 y$ em relação a $x$ é $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' - 27 y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 90$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

Etapa 2.3.3

Como $- 90$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 90$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 27 y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

Etapa 2.5.1.2

Fatore $3 y'$ de $- 27 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

Etapa 2.5.1.3

Fatore $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ .

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

Etapa 2.5.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

Etapa 2.5.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

Etapa 2.5.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

Etapa 2.5.4

Divida cada termo em $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ por $3 (y + 3) (y - 3)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Divida cada termo em $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ por $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2.5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2.5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2.5.4.2.3

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2.5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 90$

Etapa 4.2.2

Subtraia $90$ de $0$ .

$f (0) = - 90$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 90$ .

$- 90$

Etapa 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

Etapa 6