Cálculo Exemplos

$f (x) = 75 - 3 x^{2}$ ; $[0, 7]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$75 - 3 x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $75 - 3 x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $75$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 75$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 75$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 75$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 75}{- 3}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 75}{- 3}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 75}{- 3}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $- 75$ por $- 3$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 1.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 1.3

Substitua $5$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(5, 0)$

$(- 5, 0)$

$(5, 0)$

$(- 5, 0)$

Etapa 2

Reordene $75$ e $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 75$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{5} - 3 x^{2} + 75 d x - \int_{0}^{5} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{5} - 3 x^{2} + 75 - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $- 3 x^{2} + 75$ .

$\int_{0}^{5} - 3 x^{2} + 75 d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{5} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{5} 75 d x$

Etapa 4.4

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 75 d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 75 d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 75 d x$

Etapa 4.7

Aplique a regra da constante.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 75 x]_{0}^{5}$

Etapa 4.8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $5$ e em $0$ .

$- 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 75 x]_{0}^{5}$

Etapa 4.8.2

Avalie $75 x$ em $5$ e em $0$ .

$- 3 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- 3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- 3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 3 (\frac{125}{3} - 0) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 3 (\frac{125}{3} + 0) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.5

Some $\frac{125}{3}$ e $0$ .

$- 3 (\frac{125}{3}) + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.6

Combine $- 3$ e $\frac{125}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 125}{3} + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.7

Multiplique $- 3$ por $125$ .

$\frac{- 375}{3} + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.8

Cancele o fator comum de $- 375$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.8.1

Fatore $3$ de $- 375$ .

$\frac{3 \cdot - 125}{3} + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 125}{3 (1)} + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 125}{3 \cdot 1} + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 125}{1} + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.8.2.4

Divida $- 125$ por $1$ .

$- 125 + 75 \cdot 5 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.9

Multiplique $75$ por $5$ .

$- 125 + 375 - 75 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.10

Multiplique $- 75$ por $0$ .

$- 125 + 375 + 0$

Etapa 4.8.3.11

Some $375$ e $0$ .

$- 125 + 375$

Etapa 4.8.3.12

Some $- 125$ e $375$ .

$250$

Etapa 5

$A r e a = \int_{5}^{7} 0 d x - \int_{5}^{7} - 3 x^{2} + 75 d x$

Etapa 6

Integre para encontrar a área entre $5$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{5}^{7} 0 - (- 3 x^{2} + 75) d x$

Etapa 6.2

Subtraia $- 3 x^{2} + 75$ de $0$ .

$\int_{5}^{7} - (- 3 x^{2} + 75) d x$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{5}^{7} - (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 75 d x$

Etapa 6.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 75$

Etapa 6.4.2

Multiplique $- 1$ por $75$ .

$3 x^{2} - 75$

$\int_{5}^{7} 3 x^{2} - 75 d x$

Etapa 6.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{5}^{7} 3 x^{2} d x + \int_{5}^{7} - 75 d x$

Etapa 6.6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{5}^{7} x^{2} d x + \int_{5}^{7} - 75 d x$

Etapa 6.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} - 75 d x$

Etapa 6.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} - 75 d x$

Etapa 6.9

Aplique a regra da constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{7}) + - 75 x]_{5}^{7}$

Etapa 6.10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $7$ e em $5$ .

$3 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{5^{3}}{3}) + - 75 x]_{5}^{7}$

Etapa 6.10.2

Avalie $- 75 x$ em $7$ e em $5$ .

$3 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.3.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$3 (\frac{343}{3} - \frac{5^{3}}{3}) - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$3 (\frac{343}{3} - \frac{125}{3}) - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{343 - 125}{3} - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.4

Subtraia $125$ de $343$ .

$3 (\frac{218}{3}) - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.5

Combine $3$ e $\frac{218}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 218}{3} - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.6

Multiplique $3$ por $218$ .

$\frac{654}{3} - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.7

Cancele o fator comum de $654$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.3.7.1

Fatore $3$ de $654$ .

$\frac{3 \cdot 218}{3} - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.3.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 218}{3 (1)} - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 218}{3 \cdot 1} - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{218}{1} - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.7.2.4

Divida $218$ por $1$ .

$218 - 75 \cdot 7 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.8

Multiplique $- 75$ por $7$ .

$218 - 525 + 75 \cdot 5$

Etapa 6.10.3.9

Multiplique $75$ por $5$ .

$218 - 525 + 375$

Etapa 6.10.3.10

Some $- 525$ e $375$ .

$218 - 150$

Etapa 6.10.3.11

Subtraia $150$ de $218$ .

$68$

Etapa 7

Some $250$ e $68$ .

$318$

Etapa 8