Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 - x^{2}$ ; $[0, 3]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$1 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $1 - x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 1$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Etapa 2

Reordene $1$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 1$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 1 - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $- x^{2} + 1$ .

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x$

Etapa 4.7

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1}$

Etapa 4.8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + x]_{0}^{1}$

Etapa 4.8.2

Avalie $x$ em $1$ e em $0$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (\frac{1}{3} - 0) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{1}{3} + 0) + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.5

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} + 1 + 0$

Etapa 4.8.3.6

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} + 1$

Etapa 4.8.3.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 4.8.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 3}{3}$

Etapa 4.8.3.9

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 5

$A r e a = \int_{1}^{3} 0 d x - \int_{1}^{3} - x^{2} + 1 d x$

Etapa 6

Integre para encontrar a área entre $1$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{3} 0 - (- x^{2} + 1) d x$

Etapa 6.2

Subtraia $- x^{2} + 1$ de $0$ .

$\int_{1}^{3} - (- x^{2} + 1) d x$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{3} x^{2} - 1 \cdot 1 d x$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{1}^{3} x^{2} - 1 d x$

Etapa 6.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Etapa 6.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Etapa 6.7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + - x]_{1}^{3}$

Etapa 6.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ e $- x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x]_{1}^{3}$

Etapa 6.8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} - x$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $27$ .

$\frac{27}{3} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.3

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.3.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{1} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.3.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$9 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.5

Subtraia $3$ de $9$ .

$6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8.2.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} - 1)$

Etapa 6.8.2.2.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 - (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 6.8.2.2.10

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 - (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Etapa 6.8.2.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 - \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 6.8.2.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.12.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 - \frac{1 - 3}{3}$

Etapa 6.8.2.2.12.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$6 - \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.8.2.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 - - \frac{2}{3}$

Etapa 6.8.2.2.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 + 1 (\frac{2}{3})$

Etapa 6.8.2.2.15

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$6 + \frac{2}{3}$

Etapa 6.8.2.2.16

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 6.8.2.2.17

Combine $6$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 6.8.2.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \cdot 3 + 2}{3}$

Etapa 6.8.2.2.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.19.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{18 + 2}{3}$

Etapa 6.8.2.2.19.2

Some $18$ e $2$ .

$\frac{20}{3}$

Etapa 7

Some as áreas $\frac{2}{3} + \frac{20}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 20}{3}$

Etapa 7.2

Some $2$ e $20$ .

$\frac{22}{3}$

Etapa 8