Cálculo Exemplos

$f (x, y) = 8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $8 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3} y$ em relação a $x$ é $8 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3

Como $- 7 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $24 y x^{2}$ e $0$ .

$24 y x^{2} + 2$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = 24 x^{2} y + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x^{2} y + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $24 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2} y$ em relação a $x$ é $24 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 y (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$48 y x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$48 y x + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Some $48 y x$ e $0$ .

$48 y x$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores de $48 y x$ .

$f'' (x) = 48 x y$