Cálculo Exemplos

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Etapa 1

A raiz quadrada média (RMS) de uma função $f$ em um intervalo especificado $[a, b]$ é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores originais.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Etapa 2

Substitua os valores reais na fórmula pela raiz quadrada média de uma função.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Etapa 3

Avalie a integral.

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Etapa 3.1

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Etapa 3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Etapa 3.6

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.6.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Etapa 3.6.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Etapa 3.6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Etapa 3.6.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 3.6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Etapa 3.6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 3.7

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 3.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Etapa 3.9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Etapa 3.10

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.10.1

Avalie $x$ em $4$ e em $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Etapa 3.10.2

Avalie $\sin (u)$ em $8$ e em $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Etapa 3.10.3

Some $4$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.1.1.1

Avalie $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Etapa 3.11.1.1.2

Avalie $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Etapa 3.11.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Etapa 3.11.1.2

Subtraia $0.75680249$ de $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Etapa 3.11.1.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

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Etapa 3.11.1.3.1

Multiplique $0.23255575$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Etapa 3.11.1.3.2

Combine $- 0.23255575$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Etapa 3.11.1.4

Divida $- 0.23255575$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Etapa 3.11.2

Subtraia $0.11627787$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Etapa 3.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Etapa 3.11.4

Divida $5.88372212$ por $2$ .

$2.94186106$

Etapa 4

Simplifique a fórmula da raiz quadrada média.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{4 + 2}$ e $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Etapa 4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1

Some $4$ e $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Etapa 4.2.2

Divida $2.94186106$ por $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Forma decimal:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$