Cálculo Exemplos

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

Etapa 1

A raiz quadrada média (RMS) de uma função $f$ em um intervalo especificado $[a, b]$ é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores originais.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Etapa 2

Substitua os valores reais na fórmula pela raiz quadrada média de uma função.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

Etapa 3

Avalie a integral.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

Etapa 3.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{8}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

Etapa 3.3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Avalie $\frac{1}{9} x^{9}$ em $1$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Etapa 3.3.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $9$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

Etapa 3.3.2.5

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

Etapa 3.3.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 1}{9}$

Etapa 3.3.2.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{9}$

Etapa 4

Simplifique a fórmula da raiz quadrada média.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{1 + 1}$ por $\frac{2}{9}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

Etapa 4.2

Some $1$ e $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Etapa 4.3

Reduza a expressão $\frac{2}{2 \cdot 9}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Etapa 4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

Etapa 5