Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

Etapa 1

Calcule a derivada de $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Etapa 9

Reescreva ${\sqrt{x}}^{7}$ como $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

Etapa 10

Combine $18$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

Etapa 11

Combine $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Fatore $2$ de $18 \sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Reescreva $\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ como $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 14.1

Reescreva $x^{7}$ como ${(x^{3})}^{2} x$ .

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Etapa 14.1.1

Fatore $x^{6}$ .

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.1.2

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Multiplique $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.5.2

Some $6$ e $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 18

Multiplique $x^{\frac{7}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

Etapa 18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

Etapa 18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

Etapa 18.4

Some $- 1$ e $7$ .

$9 x^{\frac{6}{2}}$

Etapa 18.5

Divida $6$ por $2$ .

$9 x^{3}$