Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x - 18$ ; $[2, 6]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$6 x - 18 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $6 x - 18 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $18$ aos dois lados da equação.

$6 x = 18$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $6 x = 18$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $6 x = 18$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{6}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $18$ por $6$ .

$x = 3$

Etapa 1.3

Substitua $3$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(3, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 6 x - 18 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $2$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{2}^{3} 0 - (6 x - 18) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $6 x - 18$ de $0$ .

$\int_{2}^{3} - (6 x - 18) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{2}^{3} - (6 x) + 18 d x$

Etapa 3.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 x - - 18$

Etapa 3.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 18$ .

$- 6 x + 18$

$\int_{2}^{3} - 6 x + 18 d x$

Etapa 3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{3} - 6 x d x + \int_{2}^{3} 18 d x$

Etapa 3.6

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$- 6 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 18 d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 18 d x$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 18 d x$

Etapa 3.9

Aplique a regra da constante.

$- 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 18 x]_{2}^{3}$

Etapa 3.10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $2$ .

$- 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 18 x]_{2}^{3}$

Etapa 3.10.2

Avalie $18 x$ em $3$ e em $2$ .

$- 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 6 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 6 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- 6 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 6 (\frac{9}{2} - 2) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.5

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 6 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.6

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 6 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 6 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.8.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 6 \frac{9 - 4}{2} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.8.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$- 6 (\frac{5}{2}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.9

Combine $- 6$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 6 \cdot 5}{2} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.10

Multiplique $- 6$ por $5$ .

$\frac{- 30}{2} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.11

Cancele o fator comum de $- 30$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.11.1

Fatore $2$ de $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 15}{1} + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.11.2.4

Divida $- 15$ por $1$ .

$- 15 + 18 \cdot 3 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.12

Multiplique $18$ por $3$ .

$- 15 + 54 - 18 \cdot 2$

Etapa 3.10.3.13

Multiplique $- 18$ por $2$ .

$- 15 + 54 - 36$

Etapa 3.10.3.14

Subtraia $36$ de $54$ .

$- 15 + 18$

Etapa 3.10.3.15

Some $- 15$ e $18$ .

$3$

Etapa 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 6 x - 18 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{3}^{6} 6 x - 18 - (0) d x$

Etapa 5.2

Subtraia $0$ de $6 x - 18$ .

$\int_{3}^{6} 6 x - 18 d x$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{3}^{6} 6 x d x + \int_{3}^{6} - 18 d x$

Etapa 5.4

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 18 d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 18 d x$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 18 d x$

Etapa 5.7

Aplique a regra da constante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 18 x]_{3}^{6}$

Etapa 5.8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $6$ e em $3$ .

$6 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 18 x]_{3}^{6}$

Etapa 5.8.2

Avalie $- 18 x$ em $6$ e em $3$ .

$6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$6 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.2

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.2.1

Fatore $2$ de $36$ .

$6 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.2.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$6 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$6 (18 - \frac{9}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.4

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.5

Combine $18$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.7.1

Multiplique $18$ por $2$ .

$6 \frac{36 - 9}{2} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.7.2

Subtraia $9$ de $36$ .

$6 (\frac{27}{2}) - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.8

Combine $6$ e $\frac{27}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 27}{2} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.9

Multiplique $6$ por $27$ .

$\frac{162}{2} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.10

Cancele o fator comum de $162$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.10.1

Fatore $2$ de $162$ .

$\frac{2 \cdot 81}{2} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 81}{2 (1)} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 1} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{81}{1} - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.10.2.4

Divida $81$ por $1$ .

$81 - 18 \cdot 6 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.11

Multiplique $- 18$ por $6$ .

$81 - 108 + 18 \cdot 3$

Etapa 5.8.3.12

Multiplique $18$ por $3$ .

$81 - 108 + 54$

Etapa 5.8.3.13

Some $- 108$ e $54$ .

$81 - 54$

Etapa 5.8.3.14

Subtraia $54$ de $81$ .

$27$

Etapa 6

Some $3$ e $27$ .

$30$

Etapa 7