Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Etapa 1.1.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Etapa 1.1.1.2.4.3

Combine $\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.5

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4.3

Some $3$ e $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine $4$ e $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.4.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.1.1.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.1.3

Multiplique $3$ por $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.1.4

Multiplique $81$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.2

Subtraia $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1.1

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.1.1.2

Fatore $- 4 x^{2}$ de $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Etapa 1.2.3.1.1.3

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Etapa 1.2.3.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Etapa 1.2.3.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.5.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Etapa 1.2.3.1.5.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.5.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Etapa 1.2.3.1.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.3.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.3.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.4

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 1.2.3.4.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 1.2.3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 1.2.3.4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 1.2.3.4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.3.4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.3.4.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.3.4.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 1.2.3.4.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 1.2.3.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 1.2.3.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 1.2.3.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 1.2.3.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.3.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.3.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.3.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ .

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Etapa 2.1

Defina o argumento em $\ln (x^{4} + 27)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{4} + 27 > 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $27$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{4} > - 27$

Etapa 2.2.2

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 2.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $46656$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $324$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.5

Some $- 186624$ e $11664$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $1296$ e $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $1323$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 174960$ e $1750329$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $729$ de $- 174960$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Etapa 4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.2.1

Fatore $729$ de $1750329$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Etapa 4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

Etapa 4.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $324$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.5

Some $- 256$ e $1296$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $16$ e $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $43$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 3, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $324$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.5

Some $- 256$ e $1296$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $16$ e $27$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $43$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, 3)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $46656$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $324$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Some $- 186624$ e $11664$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $1296$ e $27$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $1323$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 174960$ e $1750329$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Fatore $729$ de $- 174960$ .

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Etapa 7.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.2.1

Fatore $729$ de $1750329$ .

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Etapa 7.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

Etapa 7.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(0, 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9