Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1 - t^{2}} d t$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1^{2} - t^{2}} d t]$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

Etapa 2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $1 - t$ .

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

Etapa 2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Etapa 3

Como $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ em relação a $x$ é $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- x^{- 2})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 6.2

Reordene os fatores de $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$

Etapa 6.3

Combine $- \frac{1}{x^{2}}$ e $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ .

$- \frac{\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t}{x^{2}}$