Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $x e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x e^{- x}$ de $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ .

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.5.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.6

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Resolva $- x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.6.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 2.6.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.6.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 2$ .

$0, 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique.

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.5

Reescreva $- 1 e$ como $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 \cdot e^{- (- 1)}$

Etapa 5.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 e$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2 e$ de $- e$ .

$f' (- 1) = - 3 e$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 3 e$ .

$- 3 e$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 3 e$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)}$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 6.2.1.9

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (1) = \frac{1}{e}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{1}{e}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, 2)$ .

Acréscimo em $(0, 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - {(3)}^{2} e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - 1 \cdot (9 e^{- (3)}) + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f' (3) = - 9 e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (3) = - 9 e^{- 3} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 9 \frac{1}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2.1.5

Combine $- 9$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = \frac{- 9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- (3)}$

Etapa 7.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- 3}$

Etapa 7.2.1.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Etapa 7.2.1.10

Combine $6$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + \frac{6}{e^{3}}$

Etapa 7.2.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{- 9 + 6}{e^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.2.1

Some $- 9$ e $6$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{e^{3}}$

Etapa 7.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (3) = - \frac{3}{e^{3}}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- \frac{3}{e^{3}}$ .

$- \frac{3}{e^{3}}$

Etapa 7.3

Em $x = 3$ , a derivada é $- \frac{3}{e^{3}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(2, \infty)$ .

Decréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, 2)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Etapa 9