Cálculo Exemplos

$x^{3} \sin (x)$

Etapa 1

Escreva $x^{3} \sin (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{3} \sin (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} \sin (x) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{3}$ e $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x$

Etapa 6

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x)$

Etapa 7

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x)$

Etapa 9

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x))$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x)$

Etapa 11

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x))$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x))$

Etapa 13.2

Multiplique $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x))$

Etapa 14

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$

Etapa 15

Reescreva $x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$ como $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$ .

$- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x^{3} \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$