Cálculo Exemplos

$\sqrt{2 x + x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{2 x + x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{2 x + x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{2 x + x^{2}} d x$

Etapa 4

Complete o quadrado.

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Etapa 4.1

Reordene $2 x$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x$

Etapa 4.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 4.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 4.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 4.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.5.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 4.5.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 4.5.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 4.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

$\int \sqrt{{(x + 1)}^{2} - 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 1} d u$

Etapa 6

Deixe $u = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Simplifique $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Etapa 7.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 7.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 7.2.2

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 7.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 7.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 8

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 9

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 11

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 13

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 14

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 15

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 16

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 17

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 19

Simplifique a expressão.

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Etapa 19.1

Some $1$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 19.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 20

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 21

Simplifique multiplicando.

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Etapa 21.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 21.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 21.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 22

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Etapa 23

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 24

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 25

Some $1$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 26

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 27

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Etapa 28

Some $2$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 29

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 30

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 31

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 32

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 32.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 33

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Etapa 34

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Etapa 35

Simplifique.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 36

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 36.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (u)$ .

$- \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (u)) \tan (arcsec (u)) + \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |)) + C$

Etapa 36.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x + 1)) \tan (arcsec (x + 1)) + \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |)) + C$

Etapa 37

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{2 x + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x + 1)) \tan (arcsec (x + 1)) + \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |)) + C$