Cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{3} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{3 x^{3} - 2 x + 3}{x^{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 2 x + 3}{x^{3}} d x$

Etapa 4

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (3 x^{3} - 2 x + 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 2 x + 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 2 x + 3) x^{- 3} d x$

Etapa 6

Expanda $(3 x^{3} - 2 x + 3) x^{- 3}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (3 x^{3} - 2 x) x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 3 x^{3} x^{- 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 x^{3 - 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.4

Subtraia $3$ de $3$ .

$\int 3 x^{0} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int 3 - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 3 - 2 (x^{1} x^{- 3}) + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 - 2 x^{1 - 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.9

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int 3 - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.10

Reordene $3$ e $- 2 x^{- 2}$ .

$\int - 2 x^{- 2} + 3 + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.11

Mova $3$ .

$\int - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} + 3 d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Etapa 8

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) + \int 3 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Etapa 10

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 3 d x$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 3 d x$

Etapa 12.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 3 d x$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$- 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 x + C$

Etapa 14

Simplifique.

$\frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 3 x + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3 x^{3} - 2 x + 3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 3 x + C$