Cálculo Exemplos

$\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{3 x + 1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 5

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (3 x + 1) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x + 1) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\int (3 x + 1) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (3 x + 1) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (3 x + 1) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

Expanda $(3 x + 1) x^{- \frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 3 x \cdot x^{- \frac{3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{- \frac{3}{2}}) + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 x^{1 - \frac{3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 3 x^{\frac{2 - 3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.6

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int 3 x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.7

Multiplique $x^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int 3 x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 10

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 13

Simplifique.

$6 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$