Cálculo Exemplos

$2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Combine $\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9.3

Multiplique $\int \sec^{2} (u) d u$ por $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 10

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\tan (u) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 12

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 12.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\tan (u) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 12.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 12.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (u) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 12.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int x^{- 2} d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\tan (u) + C - (- x^{- 1} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique.

$\tan (u) - - \frac{1}{x} + C$

Etapa 14.2

Simplifique.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (u) + 1 \frac{1}{x} + C$

Etapa 14.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\tan (u) + \frac{1}{x} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$