Cálculo Exemplos

$\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

Expanda $(x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{8} + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{8} x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{8 - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.4

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.5

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{8 \cdot 2 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.7.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\int x^{\frac{16 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.7.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.9

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.10

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.12.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.12.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{15}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{15}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 11

Reescreva $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ como $- x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique.

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 14.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$