Cálculo Exemplos

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Etapa 1

Escreva $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ como uma função.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 6

Como $48$ é constante com relação a $x$ , mova $48$ para fora da integral.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Etapa 7

Multiplique $48$ por $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 8

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 8.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 8.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 8.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x + 2$ .

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Etapa 8.1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Etapa 8.1.1.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Etapa 8.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Etapa 8.1.1.2

Aplique a regra do produto a $2 (x + 1)$ .

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 8.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 8.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 8.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.5

Cancele o fator comum de $2^{2}$ .

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Etapa 8.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.6

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 8.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.7.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.7.1.2

Divida $(A) \cdot (2^{2})$ por $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.7.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Etapa 8.1.7.4

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 8.1.7.4.1

Fatore $x + 1$ de $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Etapa 8.1.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.1.7.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 8.1.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 8.1.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Etapa 8.1.7.4.2.4

Divida $B (2^{2} (x + 1))$ por $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Etapa 8.1.7.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Etapa 8.1.7.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Etapa 8.1.7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Etapa 8.1.7.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Etapa 8.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.8.1

Mova $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Etapa 8.1.8.2

Reordene $4 A$ e $4 x B$ .

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Etapa 8.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 8.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 4 B$

Etapa 8.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 4 A + 4 B$

Etapa 8.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Etapa 8.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 8.3.1

Resolva $B$ em $0 = 4 B$ .

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Etapa 8.3.1.1

Reescreva a equação como $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Etapa 8.3.1.2

Divida cada termo em $4 B = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Divida cada termo em $4 B = 0$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Etapa 8.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Etapa 8.3.1.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Etapa 8.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Etapa 8.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = 4 A + 4 B$ por $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Etapa 8.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Simplifique $4 A + 4 (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Etapa 8.3.2.2.1.2

Some $4 A$ e $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Etapa 8.3.3

Resolva $A$ em $1 = 4 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Reescreva a equação como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = 0$

Etapa 8.3.3.2

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Etapa 8.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Etapa 8.3.3.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Etapa 8.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Etapa 8.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Etapa 8.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Etapa 8.5.2

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Etapa 8.5.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Etapa 8.5.4

Divida $0$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Etapa 8.5.5

Remova o zero da expressão.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $- 48$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $4$ de $- 48$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 10.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 10.2.2.4

Divida $- 12$ por $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Etapa 11

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Etapa 12

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 12.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Etapa 12.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 12.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Etapa 12.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique.

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Etapa 15.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Etapa 15.2.2

Combine $12$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$