Cálculo Exemplos

$\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Etapa 1

Escreva $\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ como uma função.

$f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \tan^{9} (x) \sec^{4} (x) d x$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\int \tan^{9} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 6

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{9} (1 + u^{2}) d u$

Etapa 7

Multiplique $u^{9} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{9} \cdot 1 + u^{9} u^{2} d u$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $u^{9}$ por $1$ .

$\int u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Etapa 8.2

Multiplique $u^{9}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Etapa 8.2.2

Some $9$ e $2$ .

$\int u^{9} + u^{11} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{9} d u + \int u^{11} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{9}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \int u^{11} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{11}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$