Cálculo Exemplos

${(6 x + 5)}^{2} d x$

Etapa 1

Escreva ${(6 x + 5)}^{2} d x$ como uma função.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

Etapa 4

Como $d$ é constante com relação a $x$ , mova $d$ para fora da integral.

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

Etapa 5

Deixe $u = 6 x + 5$ . Depois, $d u = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 6 x + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $6$ e $0$ .

$6$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{6}$ e $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

Etapa 7.2

Reordene $\frac{u^{2}}{6}$ e $- 1$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{u^{2}}{6}$ por $\frac{u}{6}$ .

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Etapa 7.4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Etapa 7.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Etapa 7.6

Some $2$ e $1$ .

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Etapa 7.7

Multiplique $6$ por $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Etapa 7.8

Combine $- 1 \frac{u^{2}}{6}$ e $\frac{5}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

Etapa 7.9

Combine $\frac{u^{2}}{6}$ e $5$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Mova $5$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

Etapa 8.2

Reescreva $- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ como $- \frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

Etapa 8.3

Reescreva $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ como um produto.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

Etapa 8.4

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

Etapa 8.5

Multiplique $6$ por $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{36}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{36}$ para fora da integral.

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Etapa 14

Como $\frac{5}{36}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{5}{36}$ para fora da integral.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

Etapa 15

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Etapa 16.2

Simplifique.

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

Etapa 17

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x + 5$ .

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

Etapa 19

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ .

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$