Cálculo Exemplos

$| x^{2} - 4 x + 3 |$

Etapa 1

Escreva $| x^{2} - 4 x + 3 |$ como uma função.

$f (x) = | x^{2} - 4 x + 3 |$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int | x^{2} - 4 x + 3 | d x$

Etapa 4

Defina o argumento no valor absoluto como igual a $0$ para encontrar os possíveis valores para dividir a solução.

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Resolva a equação para $x$ .

$x = 3, 1$

Etapa 5.2

Crie intervalos em torno das soluções para descobrir onde $x^{2} - 4 x + 3$ é positivo e negativo.

$(- \infty, 1), (1, 3), (3, \infty)$

Etapa 5.3

Substitua um valor de cada intervalo em $x^{2} - 4 x + 3$ para descobrir onde a expressão é positiva ou negativa.

$\begin{array}{c} Intervalo & Sinal no intervalo \\ (- \infty, 1) & + \\ (1, 3) & - \\ (3, \infty) & + \end{array}$

Etapa 5.4

Integre o argumento do valor absoluto.

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Etapa 5.4.1

Estabeleça a integral com o argumento do valor absoluto.

$\int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Etapa 5.4.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Etapa 5.4.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Etapa 5.4.4

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Etapa 5.4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Etapa 5.4.6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Etapa 5.4.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Etapa 5.4.8

Simplifique.

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Etapa 5.4.9

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Etapa 5.5

Nos intervalos onde o argumento é negativo, multiplique a solução da integral por $- 1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x \leq 1 \\ - (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x > 3 \end{cases}$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x \leq 1 \\ - (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x > 3 \end{cases}$

Etapa 5.7

Simplifique.

${\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x & x \leq 1 \\ - (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x > 3 \end{cases} + C$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x \leq 1 \\ - (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x > 3 \end{cases} + C$

Etapa 6

A resposta é a primitiva da função $f (x) = | x^{2} - 4 x + 3 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x \leq 1 \\ - (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x > 3 \end{cases} + C$