Cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

Etapa 4.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} - x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

Etapa 4.1.2.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Etapa 4.1.2.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.3.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 5

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.2

Multiplique $x^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.3

Fatore o negativo.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

Etapa 7.6

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

Etapa 7.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 7.7.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

Etapa 7.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

Etapa 7.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

Etapa 7.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

Etapa 7.7.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

Etapa 7.8

Reordene $x^{- \frac{3}{2}}$ e $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 10

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 12.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$