Cálculo Exemplos

$\frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\ln (x)}{x^{5}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x^{5}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \ln (x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{5 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 5} d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 5}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

Etapa 6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

Etapa 6.5

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Etapa 8.2

Multiplique $\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Etapa 10

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 10.1

Mova $x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Etapa 10.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 10.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Etapa 10.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 5}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Reescreva $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ como $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{4}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

Etapa 12.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

Etapa 12.2.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

Etapa 12.2.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$