Cálculo Exemplos

$\sqrt{4 x^{2} + 5}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{4 x^{2} + 5}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{4 x^{2} + 5} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ é positivo.

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Combine $\frac{\sqrt{5}}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{(\sqrt{5} \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.2.2

Aplique a regra do produto a $\sqrt{5} \tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.3

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{4 \frac{5^{1} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.3.5

Avalie o expoente.

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{1}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.6.5

Avalie o expoente.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.2

Fatore $5$ de $5 \tan^{2} (t) + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Fatore $5$ de $5 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $5$ de $5$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $5$ de $5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t) + 1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{5 \sec^{2} (t)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.4

Reordene $5$ e $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \sec (t) \sqrt{5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Combine $\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t) \sec (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Etapa 5.2.2

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\sqrt{5} (\sec^{1} (t) \sec^{2} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Etapa 5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{\sqrt{5} {\sec (t)}^{1 + 2}}{2} \sqrt{5} d t$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Etapa 5.2.5

Combine $\frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2}$ e $\sqrt{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Etapa 5.2.6

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.7

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.9

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.10

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.10.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{5^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.10.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{5 \sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 6

Como $\frac{5}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{5}{2}$ para fora da integral.

$\frac{5}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 7

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{5}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Etapa 9

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Etapa 10

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 12.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Etapa 13

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Etapa 14

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 14.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 15

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Etapa 16

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 19

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Etapa 20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Etapa 21

Some $2$ e $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 22

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 23

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 24

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 25

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 25.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 26

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Etapa 27

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Etapa 28

Simplifique.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 29

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 29.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 30

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{5}{4} (\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ . Portanto, $\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}}))$ é $\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 31.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.2.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.4

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 31.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{1}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.7

Reescreva $\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ como $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.8

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.9

Combine.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} (2 x)}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.10.1

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.10.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.10.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.11

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.11.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.11.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.11.5

Avalie o expoente.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.12

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \cdot \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.1

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.2

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.3.1

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 x \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.4.2

Aplique a regra do produto a $2 x \sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.4.3

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{1}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.5.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.6

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.7

Cancele o fator comum de $20$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.7.1

Fatore $5$ de $20 x^{2}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.7.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 (5)}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 \cdot 5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.10

Reescreva $\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ como $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.11

Multiplique $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.12.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.12.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.12.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.12.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Etapa 31.1.13.14

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.15

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.16.1

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.16.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 31.1.13.16.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}} |)) + C$

Etapa 31.1.13.16.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Etapa 31.1.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Etapa 31.1.15

Reordene os fatores em $\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Etapa 31.1.16

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.2

Para escrever $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot \frac{5}{5}) + C$

Etapa 31.3

Combine $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5}) + C$

Etapa 31.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5} + C$

Etapa 31.5

Mova $5$ para a esquerda de $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

Etapa 31.6

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 31.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

Etapa 31.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 31.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.8.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.9

Combine $\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.10

Combine $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Etapa 31.11

Multiplique $\frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}))$ .

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Etapa 31.11.1

Combine $5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5}{4} \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) + C$

Etapa 31.11.2

Combine $\frac{5}{4}$ e $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Etapa 31.12

Para escrever $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Etapa 31.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 31.13.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Etapa 31.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Etapa 31.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Etapa 31.15

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Etapa 32

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$

Etapa 33

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$