Cálculo Exemplos

$\sin (\ln (x))$

Etapa 1

Escreva $\sin (\ln (x))$ como uma função.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Etapa 5

Reordene $e^{u}$ e $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \sin (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Etapa 7

Reordene $e^{u}$ e $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \cos (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Etapa 10

Simplifique multiplicando.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Etapa 10.2

Multiplique $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ por $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Etapa 11

Ao resolver $\int e^{u} \sin (u) d u$ , descobrimos que $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Etapa 12

Reescreva $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Etapa 14.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 14.4

Multiplique $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

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Etapa 14.4.1

Combine $\sin (\ln (x))$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 14.4.2

Combine $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ e $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 14.5

Multiplique $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

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Etapa 14.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Etapa 14.5.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Etapa 14.6

Reordene os fatores em $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Etapa 15

Remova os parênteses.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$