Cálculo Exemplos

$\sec^{3} (θ)$

Etapa 1

Escreva $\sec^{3} (θ)$ como uma função.

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (θ)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

Etapa 4

Fatore $\sec (θ)$ de $\sec^{3} (θ)$ .

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (θ)$ e $d v = \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Etapa 6

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

Etapa 7

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Etapa 9.2

Reordene $\tan^{2} (θ)$ e $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

Etapa 10

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (θ)$ como $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

Etapa 11

Simplifique multiplicando.

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Etapa 11.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Etapa 11.3

Reordene $\sec (θ)$ e $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Etapa 12

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

Etapa 13

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Etapa 14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Etapa 15

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Etapa 16

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

Etapa 17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

Etapa 18

Some $2$ e $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

Etapa 19

Divida a integral única em várias integrais.

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Etapa 20

Como $- 1$ é constante com relação a $θ$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Etapa 21

A integral de $\sec (θ)$ com relação a $θ$ é $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Etapa 22

Simplifique multiplicando.

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Etapa 22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Etapa 22.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Etapa 23

Ao resolver $\int \sec^{3} (θ) d θ$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

Etapa 24

Multiplique $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ por $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

Etapa 25

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

Etapa 26

A resposta é a primitiva da função $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$