Cálculo Exemplos

$x {(4 x - 1)}^{4}$

Etapa 1

Escreva $x {(4 x - 1)}^{4}$ como uma função.

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{4} d x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use o teorema binomial.

$\int x ({(4 x)}^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$\int x (4^{4} x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$\int x (256 x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$\int x (256 x^{4} + 4 (4^{3} x^{3}) \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.4

Multiplique $4$ por $4^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Mova $4^{3}$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $4^{3}$ por $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x (256 x^{4} + 4^{3 + 1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.4.3

Some $3$ e $1$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{4} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.5

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$\int x (256 x^{4} + 256 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.6

Multiplique $- 1$ por $256$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.7

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (4^{2} x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (16 x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.9

Multiplique $16$ por $6$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} \cdot 1 + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.11

Multiplique $96$ por $1$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.12

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.13

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.14

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + {(- 1)}^{4}) d x$

Etapa 4.2.15

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + 1) d x$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x (256 x^{4}) + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int 256 x \cdot x^{4} + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Etapa 4.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Etapa 4.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Etapa 4.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x \cdot 1 d x$

Etapa 4.4.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Mova $x^{4}$ .

$\int 256 (x^{4} x) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 256 (x^{4} x^{1}) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 256 x^{4 + 1} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.1.3

Some $4$ e $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Mova $x^{3}$ .

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 4.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x^{1}) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 256 x^{5} - 256 x^{3 + 1} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.2.3

Some $3$ e $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Mova $x^{2}$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x) - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x^{1}) - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{2 + 1} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x \cdot x + x d x$

Etapa 4.5.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Mova $x$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 (x \cdot x) + x d x$

Etapa 4.5.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x^{2} + x d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 256 x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 6

Como $256$ é constante com relação a $x$ , mova $256$ para fora da integral.

$256 \int x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 8

Como $- 256$ é constante com relação a $x$ , mova $- 256$ para fora da integral.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 \int x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 10

Como $96$ é constante com relação a $x$ , mova $96$ para fora da integral.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 \int x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 12

Como $- 16$ é constante com relação a $x$ , mova $- 16$ para fora da integral.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 \int x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15.1.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15.2

Simplifique.

$\frac{128 x^{6}}{3} - \frac{256 x^{5}}{5} + 24 x^{4} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$ .

$F (x) =$ $\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$