Cálculo Exemplos

$e^{x} (- \sin (x))$

Etapa 1

Escreva $e^{x} (- \sin (x))$ como uma função.

$f (x) = e^{x} (- \sin (x))$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Etapa 5

Reordene $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$- \int \sin (x) e^{x} d x$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$- (\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x)$

Etapa 7

Reordene $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$- (\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x)$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x))$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 10

Simplifique multiplicando.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 10.2

Multiplique $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 11

Ao resolver $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ , descobrimos que $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$- (\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C)$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Reescreva $- (\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C)$ como $- \frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{2} + C$ .

$- \frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Etapa 12.2

Remova os parênteses.

$- \frac{1}{2} e^{x} (\sin (x) - \cos (x)) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{x} (- \sin (x))$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{x} (\sin (x) - \cos (x)) + C$