Cálculo Exemplos

$x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Etapa 1

Escreva $x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ como uma função.

$f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Etapa 4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Etapa 4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{3 + 1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Etapa 4.2.4

Some $3$ e $1$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Etapa 4.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Etapa 4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Etapa 4.4.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Etapa 4.4.4

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 4.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 4.4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Etapa 4.4.6.2

Some $1$ e $6$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{4}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{7}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $3$ e $\frac{2}{9}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{6}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 (2)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Etapa 9.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Etapa 9.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Etapa 9.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$