Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Etapa 1

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Etapa 2

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 2.1

Avalie o limite de $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Etapa 2.2

Reescreva $\cot (0)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Etapa 2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Etapa 2.4

Como $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 3

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Etapa 4

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 4.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Etapa 4.1.1.2

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ a partir da direita, os valores da função aumentam sem limites.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Etapa 4.1.1.3

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 4.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 4.1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 4.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 4.1.3.2

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 4.1.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Etapa 4.2

Reescreva $- \csc^{2} (x) x$ como $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Etapa 4.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Etapa 4.3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Etapa 4.3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Etapa 4.3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.3.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Etapa 4.3.1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.3.1.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Etapa 4.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Etapa 4.3.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Etapa 4.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Etapa 4.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Etapa 4.3.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 4.3.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Etapa 4.3.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Etapa 4.3.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Etapa 4.3.3.6

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Etapa 4.3.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Etapa 4.3.3.8

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Etapa 4.3.3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Etapa 4.3.3.10

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Etapa 4.3.3.11

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.11.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Etapa 4.3.3.11.2

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Etapa 4.3.3.11.3

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 4.3.3.11.4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.3.3.11.4.1

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 4.3.3.11.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 4.3.3.11.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Etapa 4.3.3.11.5

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Etapa 4.3.4

Separe as frações.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 4.3.5

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Etapa 4.3.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Etapa 4.4

Como a função $\csc (2 x)$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

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Etapa 4.4.1

Considere o limite com o múltiplo constante $- 1$ removido.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Etapa 4.4.2

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ a partir da direita, os valores da função aumentam sem limites.

$\infty$

Etapa 4.4.3

Como a função $\csc (2 x)$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

$- \infty$

Etapa 5

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$