Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Etapa 1.3.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln (\sec (x))$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 3.5

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 3.6

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 3.7

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 3.8

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.9

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Etapa 3.10

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.1.1

Adicione parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Etapa 3.11.1.2

Reordene $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Etapa 3.11.1.3

Reescreva $2 \cos (x) \sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Etapa 3.11.1.4

Cancele os fatores comuns.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Etapa 3.11.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.11.4

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Etapa 5.2

Combine $x$ e $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ em $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Etapa 8

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Etapa 9

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Etapa 10

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $1$ .

$1$

Etapa 11

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Etapa 12

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Etapa 13

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $1$ .

$1$