Cálculo Exemplos

$lim_{c \to 0} \frac{mg}{c} (1 - e^{- \frac{c t}{m}})$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Multiplique $\frac{mg}{c}$ por $1 - e^{- \frac{c t}{m}}$ .

$lim_{c \to 0} \frac{mg (1 - e^{- \frac{c t}{m}})}{c}$

Etapa 1.2

Mova o termo $mg$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $c$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{1 - e^{- \frac{c t}{m}}}{c}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$mg \frac{lim_{c \to 0} 1 - e^{- \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $c$ se aproxima de $0$ .

$mg \frac{lim_{c \to 0} 1 - lim_{c \to 0} e^{- \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $c$ se aproxima de $0$ .

$mg \frac{1 - lim_{c \to 0} e^{- \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o limite para o expoente.

$mg \frac{1 - e^{lim_{c \to 0} - \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $c$ .

$mg \frac{1 - e^{- lim_{c \to 0} \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.1.5

Mova o termo $\frac{t}{m}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $c$ .

$mg \frac{1 - e^{- \frac{t}{m} lim_{c \to 0} c}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $c$ substituindo $0$ por $c$ .

$mg \frac{1 - e^{- \frac{t}{m} \cdot 0}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $- \frac{t}{m} \cdot 0$ .

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Etapa 2.1.2.3.1.1.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$mg \frac{1 - e^{0 \frac{t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.3.1.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{t}{m}$ .

$mg \frac{1 - e^{0}}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$mg \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$mg \frac{1 - 1}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$mg \frac{0}{lim_{c \to 0} c}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $c$ substituindo $0$ por $c$ .

$mg \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$mg \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{c \to 0} \frac{1 - e^{- \frac{c t}{m}}}{c} = lim_{c \to 0} \frac{\frac{d}{d c} [1 - e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{d}{d c} [1 - e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{- \frac{c t}{m}}$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $1$ em relação a $c$ é $0$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $- e^{- \frac{c t}{m}}$ em relação a $c$ é $- \frac{d}{d c} [e^{- \frac{c t}{m}}]$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d c} [e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = e^{c}$ e $g (c) = - \frac{c t}{m}$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{c t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d c} [- \frac{c t}{m}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{u} \frac{d}{d c} [- \frac{c t}{m}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{c t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \frac{d}{d c} [- \frac{c t}{m}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $- \frac{t}{m}$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $- \frac{c t}{m}$ em relação a $c$ é $- \frac{t}{m} \frac{d}{d c} [c]$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \cdot - 1 \frac{t}{m} \frac{d}{d c} [c]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \cdot - 1 \frac{t}{m} \cdot 1}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \cdot - 1 \frac{t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.6

Combine $e^{- \frac{c t}{m}}$ e $\frac{t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - - 1 \frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 + 1 \frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.4.8

Multiplique $\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}$ por $1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 + \frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Some $0$ e $\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.5.2

Reordene os fatores em $\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$mg lim_{c \to 0} \frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m} \cdot 1$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}$ por $1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{t}{m}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $c$ .

$mg \frac{t}{m} lim_{c \to 0} e^{- \frac{c t}{m}}$

Etapa 3.2

Mova o limite para o expoente.

$mg \frac{t}{m} e^{lim_{c \to 0} - \frac{c t}{m}}$

Etapa 3.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $c$ .

$mg \frac{t}{m} e^{- lim_{c \to 0} \frac{c t}{m}}$

Etapa 3.4

Mova o termo $\frac{t}{m}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $c$ .

$mg \frac{t}{m} e^{- \frac{t}{m} lim_{c \to 0} c}$

Etapa 4

Avalie o limite de $c$ substituindo $0$ por $c$ .

$mg \frac{t}{m} e^{- \frac{t}{m} \cdot 0}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $mg$ e $\frac{t}{m}$ .

$\frac{t}{m} mg e^{- \frac{t}{m} \cdot 0}$

Etapa 5.2

Multiplique $- \frac{t}{m} \cdot 0$ .

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Etapa 5.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{t}{m} mg e^{0 \frac{t}{m}}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{t}{m}$ .

$\frac{t}{m} mg e^{0}$

Etapa 5.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{t}{m} mg \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{t}{m}$ por $1$ .

$\frac{t}{m} mg$