Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Etapa 1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.3.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 3.5.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 3.6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2}) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \cos (x^{2}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 5.2

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2}) \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x^{2})$

Etapa 5.4

Combine $\frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)}$ e $\cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$

Etapa 6

Converta de $\frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$ em $- 2 \cos (x) x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) x \cot (x)$

Etapa 7

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) x \cot (x)$

Etapa 8

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x) x \cot (x)$

Etapa 9

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cos (x) x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99168527 \\ - 0.01 & 0.99991666 \\ - 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Etapa 10

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $\cos (x) x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $1$ .

$1$

Etapa 11

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x \cot (x)$

Etapa 12

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cos (x) x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99168527 \\ 0.01 & 0.99991666 \\ 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Etapa 13

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $\cos (x) x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 14

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$