Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 1.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{0}{\sin (5 π)}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.3.3.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 π x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Etapa 3.4

Como $5 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 π x$ em relação a $x$ é $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Etapa 3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π)}$

Etapa 3.7

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \cdot 5 π}$

Etapa 3.8

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cdot \cos (5 π x) π}$

Etapa 3.9

Multiplique $5$ por $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cos (5 π x) π}$

Etapa 3.10

Reordene os fatores de $5 \cos (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 π \cos (5 π x)}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (5 π \cos (5 π x))}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{5 π}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5 π} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (\cos (5 π x))}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Etapa 10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Etapa 11

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Etapa 13.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$

Etapa 13.2

Converta de $\frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$ em $\sec (5 π \cdot 1)$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π \cdot 1)$

Etapa 13.3

Multiplique $5 π$ por $1$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π)$

Etapa 13.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (π)$

Etapa 13.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{5 π} (- \sec (0))$

Etapa 13.6

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5 π} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 13.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot - 1$

Etapa 13.8

Combine $\frac{1}{5 π}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 π}$

Etapa 13.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5 π}$